跳跃扩散观测非线性滤波的 Zakai 方程：存在性与唯一性

本文关注一般马尔可夫部分观测系统$(X,Y)$的非线性滤波问题，其动力学由具有共同跳跃时间的相关跳跃扩散过程建模。在任意时刻$t$，由观测过程$Y$生成的$\sigma$-代数提供了关于信号$X$的所有可用信息。随机滤波的核心目标是刻画滤波器，即在给定观测数据条件下$X$的条件分布。Ceci-Colaneri (2012) 已证明，滤波器是满足非线性随机方程（即所谓的 Kushner-Stratonovich 方程，KS 方程）的唯一概率测度值过程。本文旨在用非归一化滤波器来描述滤波器，该非归一化滤波器是线性随机微分方程（称为 Zakai 方程）的解。我们证明了 Kushner-Stratonovich 方程解的强唯一性与 Zakai 方程解的强唯一性等价，并由此通过应用滤波鞅问题方法（Kurtz-Ocone (1988), Kurtz-Nappo (2011), Ceci-Colaneri (2012)）推导出 Zakai 方程解的路径唯一性。最后，我们讨论了一些特例。