与非线性滤波过程相关的测度空间上的 Kolmogorov 方程
概率论
2023-07-19 v2 偏微分方程分析
摘要
我们引入并研究了一些与随机滤波问题相关的倒向 Kolmogorov 方程。在随机滤波的背景下自然会涌现出测度值过程，并且可以给出两个随机微分方程，分别称为 Zakai 方程和 Kushner-Stratonovitch 方程，它们分别由一个正测度值过程和一个概率测度值过程所满足。相关的 Kolmogorov 方程已被深入研究，主要是在假设测度值过程具有密度、进而在 Hilbert 空间中利用随机微积分技术的前提下进行的。我们的方法与此不同，因为我们不假设密度的存在，而是直接在测度的背景下工作。我们首先给出两个抛物型 Kolmogorov 方程，一个在正测度空间上，一个在概率测度空间上，然后证明经典解的存在性与唯一性。为此，我们证明了若干具有独立意义的中间结果。特别地，我们证明了测度值滤波过程与实值函数复合的 Itô 公式。此外，我们研究了滤波方程解关于初始数据的正则性。为了取得这些结果，我们引入并讨论了正测度空间上适当的导数概念。
引用
@article{arxiv.2107.11865,
title = {Kolmogorov equations on spaces of measures associated to nonlinear filtering processes},
author = {Mattia Martini},
journal= {arXiv preprint arXiv:2107.11865},
year = {2023}
}