部分信息下随机控制的平均场方法

经典的部分信息随机控制问题可表述为Zakai方程的控制问题,其解即为系统状态的非归一化条件概率分布。Zakai方程是一个随机Fokker-Planck方程。因此,待解问题类似于平均场控制理论中所遇者。由于平均场控制理论远晚于部分信息随机控制的发展,近十年平均场博弈与平均场型控制理论所获工具、技术与概念尚未被用于Zakai方程的控制。我们的目标在于联结两种理论:我们既获得新工具之力,也得到关于部分信息随机控制问题的新见解。对平均场理论而言,我们获得了新颖有趣的应用,亦有新问题。事实上,平均场控制理论导出极复杂方程,如Master方程——一种非线性无限维偏微分方程,虽相关研究活跃,但通用定理尚难获得。直接方法有助于获取正则性结果。我们将详述LQ调节器问题,但因不能仅考虑高斯情形,分离原理等熟知结果不再适用。文献中存在A. Makowsky的一项重要结果,描述了线性系统具一般(非高斯)初值条件下Zakai方程的解。我们证明分离原理可推广至二次代价泛函,但卡尔曼滤波器远比高斯情形复杂。最后,我们将本工作与E. Bandini等人的工作比较,指出其所举例子并未涵盖 ours;在其设定下我们的系统仍为非线性的。