Yang-Baxter 方程、Leibniz 代数、棱盘及相关代数结构

本文旨在阐明从 Leibniz 代数、棱盘（racks）、3-Leibniz 代数、3-棱盘、线性棱盘、三线性棱盘等 various constructions 中构造 Yang-Baxter 方程解之间的关系，并给出新的 Yang-Baxter 方程解的构造方法。首先我们展示，3-Leibniz 代数自然地在其 underlying 向量空间上产生一个 3-棱盘，这概括了 Kinyon 对从 Leibniz 代数构造棱盘的方法。随后我们展示，三线性棱盘自然地产生一个线性棱盘。结合 Lebed 利用线性棱盘构造 Yang-Baxter 方程解的方法，我们的结果为 Abramov 和 Zappala 从三线性棱盘构造 Yang-Baxter 方程解提供了内在解释。接下来我们展示，3-Leibniz 代数产生一个三线性棱盘，这概括了 Abramov 和 Zappala 从 3-Lie 代数中的构造方法。最后，我们使用 3-Leibniz 代数和 Leibniz 代数的中心扩张构造 Yang-Baxter 方程的解。特别地，给定一个 3-Leibniz 代数，有两种不同的方法来构造 Yang-Baxter 方程的解，即要么考虑 Leibniz 代数在基本对象上的中心扩张，要么考虑 3-Leibniz 代数中心扩张的基本对象上的 Leibniz 代数。我们还展示了相应解之间存在同态。