3-Lie 代数的双代数、经典 Yang-Baxter 方程与 Manin 三元组

本文研究了两类 3-Lie 双代数，其乘法与余乘法之间的相容条件分别由局部上循环和双重构造给出，因此被称为局部上循环 3-Lie 双代数与双重构造 3-Lie 双代数。它们可视为著名的 Lie 双代数在 3-Lie 代数语境下两个不同方向上的适当推广。引入局部上循环 3-Lie 双代数是为了推广 Lie 双代数与经典 Yang-Baxter 方程之间的联系。建立了它与经典 Yang-Baxter 方程的三元变体（称为 3-Lie 经典 Yang-Baxter 方程）、三元 $\mathcal{O}$-算子以及 3-pre-Lie 代数之间的关系。特别地，证明了 3-Lie 经典 Yang-Baxter 方程的解给出（余边界）局部上循环 3-Lie 双代数，而 3-pre-Lie 代数则给出 3-Lie 经典 Yang-Baxter 方程的解。引入双重构造 3-Lie 双代数，是为了将 Lie 双代数与 Lie 代数的双重构造之间的联系推广到 3-Lie 代数语境。它们相关的 Manin 三元组给出了具有中性符号的伪度量 3-Lie 代数的自然构造。此外，双重构造 3-Lie 双代数可视为局部上循环 3-Lie 双代数的一类特例。文中给出了双重构造 3-Lie 双代数的显式例子。