双曲 Poisson 零胞体积：临界发散与精确二阶矩

我们研究了 $d$ 维双曲空间中强度为 $\gamma$ 的 Poisson 超平面镶嵌的零胞 $Z_o$ 的二阶体积矩。我们关注临界强度 $\gamma_c^{(d)}$ 处的相变，即 $Z_o$ 几乎必然有界的最小值。在临界区域 $\gamma=\gamma_c^{(d)}$ 中，我们证明受限零胞 $Z_o \cap B_R$（其中 $B_R$ 是以 $o$ 为中心、半径为 $R$ 的双曲球）的二阶体积矩在任何维度下均以 $R^3$ 的普适速率发散，当 $R \to \infty$。在超临界情形 $\gamma > \gamma_c^{(d)}$ 中，我们证明完整的二阶体积矩是有限的。利用双曲空间中的调和分析工具，我们用 Meijer $G$-函数导出了该矩的精确表达式。此外，我们确定了二阶矩在 $\gamma \to \infty$ 和 $\gamma \downarrow \gamma_c^{(d)}$ 时的渐近行为，便于与相应的欧几里得值以及渗流理论的平均场普适类进行直接比较。