关于Hall-Janson覆盖定理的收敛速率
概率论
2025-06-12 v4
摘要
考虑d维欧几里得空间（d≥2）中的一个球状泊松布尔模型Z，其泊松强度为t，半径分布为rY，其中r≥0是一个缩放参数，Y是一个固定的非负随机变量，具有有限的(2d-2)阶矩（若d=2，则对于某个ε>0，具有有限的(2+ε)阶矩条件）。设A⊂R^d为具有良好边界的紧集。设α为半径为Y的球的期望体积，并假设r=r(t)的选择使得α t r^d - log t - (d-1) log log t是一个与t无关的常数。Hall和Janson的一个经典结果确定了A被Z完全覆盖的概率在t很大时的（非平凡）极限。在本文中，我们为该结果的收敛速率提供了一个O((log log t)/log t)的界。通过对r(t)进行轻微调整，该界可以改进为O(1/log t)。
引用
@article{arxiv.2405.16461,
title = {On the rate of convergence in the Hall-Janson coverage theorem},
author = {Mathew D. Penrose and Xiaochuan Yang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.16461},
year = {2025}
}
备注
24 pages, one figure. Added some extra explanations and a diagram