Riordan阵列的纵向递归关系及其矩阵表示

在水平递归关系由$A$-序列和$Z$-序列表示的同时，我们导出了Riordan阵列的一种纵向递归关系方法。该纵向递归方法给出了一种用$g$的系数的递归线性组合来表示Riordan阵列$(g,f)$元素的方式。同时也给出了纵向递归关系的矩阵表示。所有这类矩阵的集合构成一个群，称为拟Riordan群。利用车三角形和Laguerre三角形作为示例，定义了基于$c$-和$C$-Riordan阵列的水平递归关系与纵向递归关系的推广。这些推广代表了一种从Riordan阵列元素的线性递归关系来研究某些三角矩阵元素的非线性递归关系的方法。此外，Riordan阵列纵向递归关系的矩阵表示提供了低阶与高阶有限Riordan阵列之间的变换，其中第$m$阶Riordan阵列定义为$(g,f)_m=(d_{n,k})_{m\geq n,k\geq 0}$。进而，Riordan阵列的纵向关系方法提供了一种构造恒等式的统一途径。