自由能的顶点采样复杂度为多项式

我们研究以下问题：给定一个含 $n$ 个节点的巨型马尔可夫随机场，能否从中抽取一个小样本来粗略近似自由能 $\mathcal{F}_n = \log{Z_n}$？Borgs、Chayes、Lov\'asz、S\'os 和 Vesztergombi 的图极限文献结果表明，对于 $n$ 个节点上相互作用强度为 $\Theta(1/n)$ 的 Ising 模型，可通过在 $2^{O(1/\epsilon^2)}$ 个节点上采样随机诱导模型来实现对 $\log Z_n / n$ 的 $\epsilon$ 近似。我们证明该问题的采样复杂度为关于 $1/\epsilon$ 的多项式。我们进一步表明，对 $\epsilon$ 的多项式依赖不可避免。我们的结果非常一般，因为它们适用于高阶马尔可夫随机场。对于 $r$ 阶马尔可夫随机场，我们得到一种算法，使用关于 $r$ 和 $1/\epsilon$ 多项式数量的样本并实现 $\epsilon$ 近似，其运行时间在不计 $r$ 和 $\epsilon$ 的多项式因子时为 $2^{O(1/\epsilon^2)}$。对于铁磁性 Ising 模型，运行时间关于 $1/\epsilon$ 为多项式。我们的结果与近期关于正则引理与性质测试的研究密切相关，后者关注哪些性质可在关于 $1/\epsilon$ 多项式时间内以 $\epsilon$ 误差被测试。特别地，我们的证明建立在 Alon、de la Vega、Kannan 和 Karpinski 近期工作的结果之上，他们也引入了多项式顶点采样复杂度的概念。证明的另一个关键要素是本文作者给出的关联变分自由能与自由能的有效界。