自由独立粒子系统对自由泊松过程的逼近

设 $\sigma$ 是 $\mathbb R^d$ 上一个非原子无限Radon测度，例如 $d\sigma(x)=z\,dx$ 其中 $z>0$。我们考虑有界集 $\Lambda\subset\mathbb R^d$ 中自由独立粒子 $x_1,\dots,x_N$ 的系统，其中每个粒子 $x_i$ 在 $\Lambda$ 上具有分布 $\frac1{\sigma(\Lambda)}\,\sigma$，粒子数 $N$ 是随机的且服从参数为 $\sigma(\Lambda)$ 的泊松分布。如果粒子是经典独立的而非自由独立的，该粒子系统将是 $\mathbb R^d$ 上以 $\sigma$ 为强度测度的泊松点过程在 $\Lambda$ 上的限制。在自由独立的情况下，该粒子系统不是 $\mathbb R^d$ 上以 $\sigma$ 为强度测度的自由泊松过程在 $\Lambda$ 上的限制。尽管如此，我们证明这在近似意义下成立：如果有界集 $\Lambda^{(n)}$ ($n\in\mathbb N$) 满足 $\Lambda^{(1)}\subset\Lambda^{(2)}\subset\Lambda^{(3)}\subset\dotsm$ 且 $\bigcup_{n=1}^\infty \Lambda^{(n)}=\mathbb R^d$，则 $\Lambda^{(n)}$ 中相应的粒子系统收敛（当 $n\to\infty$）到 $\mathbb R^d$ 上以 $\sigma$ 为强度测度的自由泊松过程。我们还证明了如下 $N/V$-极限：设 $N^{(n)}$ 是自然数序列使得 $\lim_{n\to\infty}N^{(n)}/\sigma(\Lambda^{(n)})=1$。则 $\Lambda^{(n)}$ 中 $N^{(n)}$ 个自由独立粒子的系统收敛（当 $n\to\infty$）到自由泊松过程。我们最后将这些结果推广到无自由高斯部分的自由Lévy白噪声（特别是自由Lévy过程）的情形。