实直线上泊松强度的近最优阈值估计

本文旨在利用阈值规则估计泊松过程 $N$ 的强度。在本文中，强度定义为 $N$ 的均值测度关于 $ndx$ 的导数，其中 $n$ 是一个固定参数，并假设其具有非紧支撑。证明了基于随机阈值的估计量 $\tilde{f}_{n,\gamma}$ 可以达到与神谕估计量相同的性能，至多相差一个对数项。然后，建立了 $\tilde{f}_{n,\gamma}$ 在 Besov 空间 ${\cal B}^{\ensuremath \alpha}_{p,q}$ 上的极小极大性质。在温和的假设下，我们证明了 $$\sup_{f\in B^{\ensuremath \alpha}_{p,q}\cap \ensuremath \mathbb {L}_{\infty}} \ensuremath \mathbb {E}(\ensuremath | | \tilde{f}_{n,\gamma}-f| |_2^2)\leq C(\frac{\log n}{n})^{\frac{\ensuremath \alpha}{\ensuremath \alpha+{1/2}+({1/2}-\frac{1}{p})_+}}$$ 并且对于 ${\cal B}^{\ensuremath \alpha}_{p,q}\cap \ensuremath \mathbb {L}_{\infty}$ 的极小极大风险下界与上述上界一致，至多相差一个对数项。这个新结果有两个推论。首先，它确立了当考虑非紧支撑函数时，对于 $p\leq 2$ 的 Besov 空间 ${\cal B}^{\ensuremath \alpha}_{p,q}$，其极小极大速率与紧支撑函数的情况相同，至多相差一个对数项。当 $p>2$ 时，依赖于 $p$ 的速率指数随着 $p$ 的增加而恶化，这意味着在这种情况下支撑集起着不利的作用。此外，$\tilde{f}_{n,\gamma}$ 是自适应的极小极大估计量，至多相差一个对数项。