单位方程在3完全分裂且次数与3互素的数域中无解

设$K$为一个数域，其整数环为$\mathcal O_{K}$。我们证明若$3$不整除$[K:\mathbb Q]$且$3$在$K$中完全分裂，则单位方程在$K$中无解。换言之，不存在$x, y \in \mathcal O_{K}^{\times}$使得$x + y = 1$。我们受限于射影直线去掉三点后的标量限制上的Skolem-Chabauty-Coleman方法启发，给出了初等的$p$进证明。将此结果应用于算术动力系统中的一个问题，我们表明若$f \in \mathcal O_{K}[x]$在$\mathcal O_{K}$中有一个长度为$n$的有限循环轨道，则$n \in \{1, 2, 4\}$。