Pólya之郁林的平行翻译几何

在其郁林定理中，G. Pólya 证明了复平面上某单值函数迭代导数的零点会聚集于该函数极点韦罗瓦图的边缘。通过将Pólya的局部论证重构为平行曲面语言，我们证明了其更一般的表述，即描述紧致黎曼曲面上线性微分算子 $T_\omega: f \mapsto \frac{df}{\omega}$（其中 $\omega$ 为给定的单值1-形式）迭代作用下，函数零点的渐近分布。这些零点的聚集集合为由初始函数 $f$ 及由 $\omega$ 诱导的奇异平坦度量在黎曼曲面上定义的广义韦罗瓦图的边缘。该结果为从代数或复分析数据初始定义的平行曲面的平面几何呈现提供了新思路。