Khinchin 家族理论

Khinchin 家族理论将概率论与复分析联系起来。在本博士论文中，我们利用多种局部中心极限定理，为解析函数（具有非负系数）的系数推导渐近公式。我们给出若干特定且在大多数情况下可计算的幂级数具有特定渐近公式的标准。Khinchin 家族理论的提出是由 Walter K. Hayman、Paul C. Rosembloom 和 Luis Báez-Duarte 等人的工作所启发并受到其强烈影响。我们可以为属于 $\mathcal{K}$ 类、具有收敛半径 $R>0$ 的每个幂级数 $f$，分配一族随机变量 $(X_t)_{[0,R)}$。该理论考察了这一随机变量族以及其归一化版本在 $t \uparrow R$ 时的行为。本论文旨在将组合或概率对象中的各种渐近公式在单一框架下进行和谐整合。为此，我们扩展了某些函数类的范围，还研究了解析函数大幂次的系数。我们的主要目标之一是巩固和发展该综合性理论的一个方面：为组合数学家或概率论家提供一本指南手册，提供若干结果或基本标准，他们可以按照步骤流程，验证是否满足某些直观条件，然后推导其研究对象的渐近公式。然而，这并非唯一的主要目标；我们也深切关注这些函数类的函数理论性质及其与相应 Khinchin 家族之间的联系（例如 $f \in \mathcal{K}$ 为整函数的情形）。