Monge 多面体的结构及其归一化体积

若对所有 $i < I$ 和 $j < J$ 均有 $c_{ij} + c_{IJ} \leq c_{Ij} + c_{iJ}$，则矩阵 $C$ 具有 Monge 性质。Monge 矩阵在组合优化中起着重要作用；例如，当运输问题（相应地，旅行商问题）的代价矩阵为 Monge 矩阵时，该问题可在线性（相应地，二次）时间内求解。对于给定的矩阵维数，我们将 Monge 多面体定义为按元素之和归一化的非负 Monge 矩阵的集合。本文中，我们给出 Monge 多面体的顶点、边和面的显式描述与枚举；这些结果足以构造面格。在两行 Monge 矩阵的特殊情形下，我们还证明了一个多面体体积公式。对于对称 Monge 矩阵，我们证明 Monge 多面体是一个单纯形，并证明其体积的一般公式。