组合网格上输运现象的变分形式

我们发展了在单元复合体上的输运现象的原变量和混合变分形式。该框架处理由不同拓扑维度组件组成的具有内部结构的材料，其中每个维度的单元可能具有不同的物理属性。我们称之为组合网格微积分（Combinatorial Mesh Calculus, CMC）的该方法，扩展了 Forman 之前用于制定强守恒律的组合微分形式。CMC 直接在网格上运行，无需光滑嵌入，使用离散的外导数、Hodge 星和共微分算子的离散化。我们的混合形式导致来自由材料系数加权的内积产生的块对角质量矩阵，使其在混合系统中能够高效地进行局部消去。CMC 与需要圆心二义性和良好居中网格的离散外微积分（Discrete Exterior Calculus）不同，亦与在光滑域上构造多项式空间的有限元外微积分（Finite Element Exterior Calculus）不同。我们的框架适用于一般单元复合体，包括曲线单元和不规则网格；尽管如此，不规则性会导致较差的数值性能。数学发展在光滑和离散设置之间并行进行，建立了连续与离散算子之间的对应关系。对于质量扩散、热传导、电荷传输和多孔介质中的流体流动，建立了初始边界值问题。二维和三维的规则和不规则网格上的数值示例表明，结果与解析解一致。该框架可用于建模其中微结构拓扑影响宏观行为的输运现象，适用于多晶材料、复合材料和多孔介质。