基于有限元外微积分实现的基尔霍夫杆四场混合变分新方法
数值分析
2022-02-28 v1 数值分析
摘要
针对基尔霍夫杆的大变形分析，提出了一种采用混合有限元近似的四场混合变分原理。该方法的核心思想是引入一个单参数点族（中心线）和一个独立指定的单参数正交标架族（Cartan活动标架）。曲线的曲率和挠率与相邻标架的相对旋转相关。标架与中心线之间的关系随后在求解步骤中通过拉格朗日乘子（起截面力的作用）来强制满足。已知的如Frenet-Serret标架仅使用中心线定义，这要求中心线近似具有更高阶的光滑性。将标架与基曲线的位置矢量解耦，得到了独立于位置信息的挠率与曲率描述，从而允许更简单的插值。该方法随后用外微积分的语言表述。在此框架中，应变能可解释为微分形式，从而导出自然的力-位移（速度）配对。我们提出的四场混合变分原理以标架、微分形式和位置矢量作为输入变量。位置矢量被线性插值，而标架在旋转群上作为分段测地线插值。类似地，也采用一致的插值方案来获得其他微分形式的有限维近似。利用这些离散近似，给出了离散混合变分原理并随后进行数值极值化。将该离散近似应用于基准问题，我们的数值研究显示出所提方法具有令人印象深刻的性能，且无数值不稳定或闭锁现象。
引用
@article{arxiv.2202.12376,
title = {A novel four-field mixed variational approach to Kirchhoff rods implemented with finite element exterior calculus},
author = {Jamun Kumar N and Bensingh Dhas and Arun R Srinivasa and J N Reddy and Debasish Roy},
journal= {arXiv preprint arXiv:2202.12376},
year = {2022}
}