$\R^d$ 中的随机多孔介质方程

研究了 $\R^d$ 中随机多孔介质方程 $dX-\Delta\psi(X) dt=X dW$ 解的存在性和唯一性。其中，$W$ 是 Wiener 过程，$\psi$ 是 $\R\times\R$ 中的极大单调图，满足 $\psi(r)\le C|r|^m$ ($\forall r\in\R$)，且 $W$ 是有色 Wiener 过程 (coloured Wiener process)。在这种一般情形下，维数限制为 $d\ge 3$，主要原因是对于 $d\le2$，在空间 $\mathcal{H}=\{\varphi\in\mathcal{S}'(\R^d);\ |\xi|(\mathcal{F}\varphi)(\xi)\in L^2(\R^d)\}$ 中缺乏合适的乘子结果。然而，当 $\psi$ 为 Lipschitz 时，适定性在所有维数的经典 Sobolev 空间 $H^{-1}(\R^d)$ 上均成立。如果 $\psi(r)r\ge\rho|r|^{m+1}$ 且 $m=\frac{d-2}{d+2}$，我们证明了以严格正概率发生有限时间灭绝。