长方体的 Steklov 谱

本文研究任意维度长方体的 Steklov 特征值问题。我们证明了维度 $d \ge 3$ 的长方体上 Steklov 特征值计数函数的两项渐近公式。除标准 Weyl 项外，我们显式计算了渐近中的第二项，捕捉了长方体 $(d-2)$ 维面的贡献。我们的方法基于格点计数技术。尽管该策略类似于用于 Dirichlet 拉普拉斯算子的策略，Steklov 情形带有额外的复杂性。特别地，如何直接建立容许变量分离的 Steklov 特征函数系统的完备性并不清楚。我们使用一族辅助 Robin 边值问题证明了该结果。此外，Steklov 特征值与格点之间的对应并不精确，因此需要更精细的分析以获得谱渐近。还给出了其他一些相关结果，例如关于第一 Steklov 特征值的等周不等式、高频 Steklov 特征函数的集中性质，以及应用于长方体的谱确定。