谣言或感染在移动群体中的传播

我们考虑如下相互作用粒子系统：存在一团“气体”粒子，每个粒子在 $\mathbb{Z}^d$ 上以跳速 $D_A$ 作连续时间简单随机游走。这些粒子称为 $A$-粒子，且彼此独立运动。它们被视为不知晓某谣言或未染病的个体。我们假设系统在初始时刻 $0-$ 于 $x$ 处有 $N_A(x,0-)$ 个 $A$-粒子，且 $N_A(x,0-),x\in\mathbb{Z}^d$ 是独立同分布的、均值为 $\mu_A$ 的 Poisson 随机变量。此外，存在 $B$-粒子，它们以跳速 $D_B$ 作连续时间简单随机游走。我们在时刻 0 于系统中放入有限个 $B$-粒子。$B$-粒子被解释为了解某谣言或已感染的个体。$B$-粒子彼此独立运动。唯一的相互作用是：当 $B$-粒子与 $A$-粒子重合时，后者瞬间变为 $B$-粒子。我们研究谣言或感染传播的速度。具体而言，若 $\widetilde{B}(t):=\{x\in\mathbb{Z}^d:$ 某 $B$-粒子在 $[0,t]$ 内访问 $x\}$ 且 $B(t)=\widetilde{B}(t)+[-1/2,1/2]^d$，则我们研究 $B(t)$ 的渐近行为。我们的主要结果表明：若 $D_A=D_B$（即 $A$-与 $B$-粒子作相同的随机游走），则存在常数 $0<C_i<\infty$ 使得对充分大的 $t$ 几乎必然有 $\mathcal{C}(C_2t)\subset B(t)\subset \mathcal{C}(C_1t)$，其中 $\mathcal{C}(r)=[-r,r]^d$。在后续论文中，我们将利用此处结果证明完整的“形状定理”，即 $t^{-1}B(t)$ 几乎必然收敛于一个以原点为内点的非随机集合 $B_0$，从而 $B(t)$ 的真实增长率为 $t$ 的线性函数。若 $D_A\ne D_B$，则我们只能证明最终有上界 $B(t)\subset \mathcal{C}(C_1t)$。