Steklov-Helmholtz算子的谱

我们提出了一种波数鲁棒的策略，用于计算Helmholtz算子 $-\Delta -\mu^2$ 的Steklov特征对。当波数 $\mu \rightarrow \mu_D$ 从下方趋近时（其中 $\mu_D^2$ 是重数为 $\ell$ 的Dirichlet-Laplace特征值），最低的 $\ell$ 个Steklov-Helmholtz特征值发散至 $-\infty$。在计算上，当 $\mu \approx \mu_D$ 时，Steklov-Helmholtz特征值问题变得严重病态。我们首先将问题重新表述为适当定义的Dirichlet-to-Neumann映射。然后我们使用基于单层试探函数的间接方法。离散单层矩阵在异常波数附近接近奇异，我们使用降维奇异值分解来避免由此导致的病态性。对于光滑区域，我们的特征值求解器具有谱收敛性。我们使用这种方法（称为BIO-MOD方法）进行了尺度不变Steklov-Helmholtz问题的形状优化，并证明了在适当缩放下圆盘最大化第二特征值。对于曲线多边形，我们使用多项式分级网格而非均匀网格。作为概念验证，我们还使用RCIP求积（使用ChunkIE实现）实现了BIO-MOD。BIO-MOD方法成功消除了异常波数附近的病态性，并观察到了极高的特征值精度（多边形可达10位有效数字，光滑区域可达任意精度）。我们部署该方法来计算研究Steklov-Helmholtz算子的谱几何，包括关于谱渐近和谱优化的一些问题。