Laurent 多项式空间、$\mathbb{P}^1$-轨道折叠与可积层次

设 $M_{k,m}$ 为单变量 Laurent 多项式空间 $x^k + t_1 x^{k-1}+... t_{k+m}x^{-m},$ 其中 $k,m\geq 1$ 为固定整数且 $t_{k+m}\neq 0$。根据 B. Dubrovin \cite{D}，$M_{k,m}$ 可赋予半单 Frobenius 结构。本文证明 $M_{k+m}$ 的对应后代势与祖先势（由 A. Givental 定义）满足 Hirota 二次方程（简称 HQE）。设 $\mathcal{C}_{k,m}$ 为如下得到的轨道折叠：从 $\mathbb{P}^1$ 中切除 $z=0$ 与 $z=\infty$ 附近的小圆盘 $D_1\simeq \{|z|\leq \epsilon\}$ 与 $D_2\simeq\{|z^{-1}|\leq \epsilon\}$，并以显然方式粘回轨道折叠 $D_1/\mathbb{Z}_k$ 与 $D_2/\mathbb{Z}_m$。我们证明 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的轨道折叠量子上同调作为 Frobenius 流形与 $M_{k,m}$ 一致。在忽略某些尚待澄清的细节下，这意味着 $M_{k,m}$ 的后代势（相应地祖先势）是 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的后代（相应地祖先）轨道折叠 Gromov--Witten 不变量的生成函数。我们的 HQE 与 G. Carlet 在 \cite{car} 中引入的扩展双分次 Toda 层次的 Lax 算子之间有某种相似性。因此，我们的 HQE 刻画该层次的 tau-函数是有道理的，且我们期望扩展双分次 Toda 层次支配 $\mathcal{C}_{k,m}$ 的 Gromov--Witten 理论。