对称幺半无穷范畴中的迹空间

我们定义类迹变换为:对任意对称幺半无穷范畴 $C$ 中所有可对偶对象 $x$,一族自然的共轭不变映射 $T_{x,C}: hom_C(x,x) \to hom_C(1,1)$。这推广了线性代数中将标量 $Tr(f) \in k$ 赋予有限维 $k$-向量空间任意自同态 $f:V \to V$ 的迹。我们的主定理利用带奇点的二维配边假设计算了类迹变换的模空间。作为推论,我们证明迹 $Tr$ 可唯一延拓为类迹变换,直至一个可缩的选择空间。这使我们能给出无穷范畴迹的若干与模型无关刻画。将类迹变换从自同态限制到自同构,我们特别恢复了 Toën 与 Vezzosi 的一个定理。类迹变换的其他例子如 $f \mapsto Tr(f^n)$。与 $Tr$ 不同,模空间的相关连通分支不可缩,而是等价于 $B\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 或当 $n=0$ 时的 $BS^1$。作为结果,我们得到 $Tr(f^n)$ 上的 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-作用以及 $Tr(id_x)$ 上的圆作用。