欧氏空间中的云空间

我们研究 $\bbr^d$ 中的云空间 $\nua{m}{d}$（模仿射等距群作用的有序 m 点集）。我们证明 $\nua{m}{d}$ 是一个光滑空间，分层于 $\bbr^m$ 中某个超平面排列之上。我们给出一种算法来列出所有腔室和其他层（这与 d 无关）。借助计算机，我们得到 m≤9 时所有腔室的列表，以及 m≤8 时所有层的列表。由于这些层是多边形空间与 disk 的乘积，这给出了 m≤9 的 m-边形空间的分类。当 d=2,3，m=5,6,7 且模重排时，我们证明这些腔室（从而不同的泛型多边形空间）可由其 ${\rm mod} 2$-上同调的环结构区分。