Burkholder-Davis-Gundy 不等式的最优常数与非光滑粘贴

我们重新审视 Burkholder、Gundy \cite{BuGu70} 和 Davis \cite{Da70} 为连续鞅引入的著名的 BDG 不等式族。对于不等式 $\mathbb{E}[\tau^{\frac{p}{2}}] \leq C_p \mathbb{E}[(B^*(\tau))^p]$（其中 $0 < p < 2$），我们提出最优常数 $C_p$ 与一个常积分微分方程的联系，这给出了求此常数的数值方法。基于数值证据，我们能够计算出 $p=1$ 时最优常数 $C_1$ 的显式值，即 $C_1 = 1,27267\dots$。在我们的分析过程中，我们发现相关常积分微分方程的解出现了显著的“非光滑粘贴”现象。