Szeg\H{o}曲线的洛伦茨函数与收缩：电静力学、流体力学与随机矩阵模型

我们从三个不同视角研究经典Szeg\H{o}曲线 $\gamma_0$ 的变形 $\gamma_t$ ，其中 $\gamma_t = \{ z\in\mathbb{C}: |z\, e^{1-z}| = e^{-t}, |z|\leq 1\}$, $t\geq 0$ ，分别对应电静力学平衡问题、双子流体模型以及随机矩阵模型。这些模型的共同框架是尺度变动拉伐多项式 $L^{(\alpha_n)}_n(n z)$ 零点分布的渐近分布，当 $\lim_{n\to\infty}\alpha_n/n=-1$ 时，其极限零分布支撑在 $\gamma_t$ 上，其中变形参数 $t$ 编码了序列 $\alpha_n$ 逼近负整数的指数速率。我们证明这些曲线的洛伦茨函数可表示为洛伦茨 $W$ 函数的形式，在该表述下，斯塔尔-冈赫赫对称性和拉奇曼康普森的 $S$ 属性可明确写作洛伦茨反射对称性。我们还讨论了将曲线 $\gamma_t$ 的内部映射到圆盘 $D(0,e^{-t})$ 的 conformal 映射，以及曲线的调和矩。