代数解在平面多项式微分系统中的作用

我们研究由 \dot{x}=P(x,y), \dot{y}=Q(x,y) 给出的平面多项式微分系统。我们考虑函数 I(x,y)=\exp \{h_2(x) A_1(x,y) \diagup A_0(x,y) \} h_1(x) \prod_{i=1}^{\ell} (y-g_i(x))^{\alpha_i}，其中 g_i(x) 为代数函数，A_1(x,y)=\prod_{k=1}^r (y-a_k(x))，A_0(x,y)=\prod_{j=1}^s (y-\tilde{g}_j(x))，a_k(x) 与 \tilde{g}_j(x) 为代数函数，A_0 与 A_1 无公共因子，h_2(x) 为有理函数，h(x) 与 h_1(x) 具有有理对数导数，\alpha_i 为复数。我们证明若 I(x,y) 是首次积分或积分因子，则 I(x,y) 是 Darboux 函数。为证明该结果，我们证明若 g(x) 使得存在不可约多项式 f(x,y) 满足 f(x,g(x)) \equiv 0，则 f(x,y)=0 是该系统的不变代数曲线。与此事实相关，我们给出与特解及形如 I(x,y) 的函数（例如其协因子的结构）有关的若干特征。此外，我们考虑形如 \Phi(x,y):= \exp \{h_2(x) A_1(x,y) / A_0 (x,y) \} 的函数。我们证明若 \Phi(x,y) 沿流的导数在 A_0(x,y)=0 上有定义，则 \Phi(x,y) 给出一个指数因子。