平面微分叶状结构上的符号积分

我们考虑 $\int G(x,y(x)) dx$ 的符号积分问题,其中 $G$ 为有理函数,而 $y(x)$ 是微分方程 $y'(x)=F(x,y(x))$($F$ 为有理函数)的非代数解。由于 $y$ 是超越的,Galois 作用生成一族参数化积分 $I(x,h)=\int G(x,y(x,h)) dx$。我们证明 $I(x,h)$ 要么是微分超越的,要么在参数变换下满足一个关于 $h$ 的常系数线性微分方程,称为伸缩子(telescoper)。该概念推广了初等积分。我们给出一个算法,在给定阶与次数先验界 $\hbox{ord},N$ 下计算此类伸缩子,复杂度为 $\tilde{O}(N^{\omega+1} \hbox{ord}^{\omega-1}+N\hbox{ord}^{\omega+3})$。对于特定叶状结构 $y=\ln x$,给出了无需先验界的更完备算法。相反,对一经典平面哈密顿系统证明了伸缩子不存在。作为应用,我们给出一个算法,在给定对某复杂度高度概念足够大的界时,总能找到(若存在)平面有理向量场的 Liouvillian 解。