二项式扩张的单纯复形的 ${\rm N}_{2,p}$-性质

M. Morales 引入了一族二项式理想，它们是无平方单项式理想的二项式扩张。设 $I\subset \si$ 为一个无平方单项式理想，$J\subset\sis$ 为满足某些额外条件的 scroll 理想之和，我们将 $I$ 的二项式扩张定义为 $\B=I+J\subset \sis$。令 $p_2(\B)$ 为满足存在 $j>2$ 使得 $\beta_{i,i+j}(\B)\neq 0$ 的最小 $i\in\N$。在 $J=0$ 的情形下，Fr"oberg 组合地刻画了 $p_2(I)=\infty$ 的情况；随后 Eisenbud 等人解决了 $p_2(I)<\infty$ 的情况。我们针对二项式扩张得到了类似于 Fr"oberg 的结果，并像 Eisenbud 等人那样，以组合术语找到了某些二项式扩张族的 $p_2(\B)$ 的上下界。在一些附加假设下，我们可以计算 $p_2(\B)$。