主理想整环上矩阵的 $J$-理想计算

给定主理想整环 $D$ 上的方阵 $B$ 及 $D$ 的一个理想 $J$，$B$ 的 $J$-理想由所有使得 $f(B)$ 的每个元素均属于 $J$ 的多项式 $f\in D[X]$ 构成。已有结果表明，为确定 $B$ 的所有 $J$-理想，只需对有限多个素数幂 $p^t$ 计算 $B$ 的 $(p^t)$-理想的一组生成元。此外，已知 $(p^t)$-理想由形如 $p^{t-s}\nu_s$ 的多项式生成，其中 $\nu_s$ 是 $B$ 的 $(p^s)$-理想中次数最小的首一多项式，$s\le t$。然而，除对角矩阵情形外，此前尚不清楚如何显式确定这些多项式。我们提出一种算法，可对一般方阵计算多项式 $\nu_s$。利用 McCoy 的一个定理，我们首先计算 $B$ 的 $(p^s)$-理想的某组生成元，进而可用以确定 $\nu_s$。这一算法化计算显著拓展了我们对 $B$ 的 $J$-理想的理解。