图的 Riemann-Roch 定理与完全图中的秩

M. Baker 和 S. Norine 于 2007 年发表的论文在图的构型上引入了一个新参数，并给出了图论中一个具有代数几何风味的新结果。该结果被称为图的 Riemann-Roch 公式，因为它根据图上的构型定义了除子及其秩的组合版本。所谓的图上芯片点火游戏（chip firing game）和物理学中的沙堆模型在该理论中起着核心作用。本文以纯组合术语阐述了 Baker 和 Norine 的定理，其表述比原始版本更易懂且更简短。我们还给出了一个用于确定完全图 $K_n$ 上构型秩的算法，该算法具有线性算术复杂度。对该算法一个较少优化版本的迭代次数分析导出了一个看似新的参数，我们称之为预秩（prerank）。该参数与经典的面积参数为一些熟知的 $q,t$-Catalan 数提供了另一种描述。限制在构型的一个自然子集上，Riemann-Roch 公式中的两个自然统计量——度和秩，导出了一个分布，该分布由一个生成函数描述；该生成函数在变量替换后，是一个涉及两份 Catalan 数的 Carlitz q-模拟的对称分式。