一维 p-Laplacian 方程 Dirichlet 特征值问题的特征值之比

Chao-Zhong Chen 等 [Proc. Amer. Math. Soc, 2013] 证明了对于具有非负单势阱势的 Dirichlet Schrödinger 算子有上估计 $\frac{\lambda _{n}}{\lambda _{m}}\leq \frac{n^{p}}{m^{p}}$ $(n>m\geq 1)$。本文讨论在区间 $[0,1]$ 上连续的负势 $q(x)$ 的情形。我们证明若 $q(x)\leq 0$ 且为单势垒（single-barrier），则对于 $\lambda _{n}>\lambda _{m}\geq -2q^{*}$ 有 $\frac{\lambda _{n}}{\lambda _{m}}\geq \frac{n^{p}}{m^{p}}$，其中 $q^{*}=\inf\{q(0), q(1)\}$。进而，我们证明存在 $\ell_{0}\in ( 0,1]$ 使得对所有 $\ell\in(0,\ell_{0}]$，相关联的特征值 $(\lambda _{n}(\ell)) _{n\geq 1}$（定义在 $[0,\ell]$ 上的问题的）满足 $\lambda _{1}( \ell)>0$ 且 $\frac{\lambda _{n}( \ell)}{\lambda _{m}( \ell) }\geq \frac{n^{p}}{m^{p}}$ $n>m\geq 1$。该值 $\ell _{0}$ 满足如下估计 $0<\ell_{0}\leq \sqrt[p]{\frac{-p}{3q^{*}}}$。