群的准中心
群论
2025-12-16 v2
摘要
1973年，Jim Wiegold引入了群G的准中心P(G)的概念，定义为其元素的中子化子闭合交叉。他证明了非平凡有限群的准中心始终为非平凡，这为有限群论中的归纳提供了新的变量。在同一篇论文中，Wiegold指出，准中心与群的规范特征子之间似乎不存在明显关系。本工作旨在表明准中心在任意群的结构中发挥着比人们预期更为重要的作用。例如，我们证明了溶解群恰好等于其准中心当且仅当它是阿贝尔群，证明了换位子群的结构强烈影响准中心的结构。这并非故事的结束。事实上，准中心在任意（可能是无限的）群中的行为可以非常野蛮：有时甚至连准中心是否平凡都很难理解。这一野蛮性体现在我们主要结果中（见导论中完整列表）：1）存在一个霍希施长度3的多核群，其准中心为平凡。2）任意域上单位上三角矩阵群的准中心为上中心序列中最大的阿贝尔项。3）自由积的准中心为平凡，但存在非平凡群的嵌合自由积恰好等于其准中心。4）弱正则分支群的准中心为平凡。5）Thompson群的准中心为换位子群。6）广播积可以具有完全任意的准中心。
引用
@article{arxiv.2511.21175,
title = {The Pseudocentre of a Group (with an appendix by Anthony Genevois)},
author = {Mattia Brescia and Bernardo Giuseppe Di Siena and Ernesto Ingross and Marco Trombetti},
journal= {arXiv preprint arXiv:2511.21175},
year = {2025}
}
备注
We simplified and generalized some results and corrected some historical facts thanks to Anthony Genevois, Jan Moritz Petschick, and Matthew Brin