两根棍子问题

Luis A. Caffarelli; Michael G. Crandall

两根棍子问题

微分几何 2010-01-29 v1

作者: Luis A. Caffarelli , Michael G. Crandall

摘要

设 $l=[l_0,l_1]$ 是从 $l_0\in{\mathbb R}^n$ 到 $l_1\in{\mathbb R}^n$ 的有向线段。假设 $\bar l=[\bar l_0,\bar l_1]$ 是第二条等长线段，且 $l,\bar l$ 满足“两根棍子条件”： $\| l_1-\bar l_0\| \ge \| l_1-l_0\|, \| \bar l_1-l_0\| \ge \| \bar l_1-\bar l_0\|$ 。这里 $\| \cdot\|$ 是 ${\mathbb R}^n$ 上的一个范数。我们探讨当对“中间点” $l_* \in l$ ， $\bar l_* \in \bar l$ 做出假设时， $l_1-\bar l_1$ 受到何种约束。粗略地说，我们最微妙的结果构造了相距约为 $\| l_* -\bar l_*\|$ 的平行平面，使得 $l_1-\bar l_1$ 必须位于这些平面之间，前提是 $\| \cdot\|$ 是本文定义的“几何凸”和“平衡”的。标准 $p$ -范数被证明是几何凸和平衡的。其他结果以Lipschitz或Hölder方式通过 $\| l_* -\bar l_* \|$ 估计 $\| l_1-\bar l_1 \|$ 。所有这些结果在程函方程理论中都有意义，而“两根棍子问题”正是源于该理论。

关键词

两根棍子条件范数几何凸平衡 p-范数程函方程

引用

@article{arxiv.1001.5186,
  title  = {The Problem of Two Sticks},
  author = {Luis A. Caffarelli and Michael G. Crandall},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1001.5186},
  year   = {2010}
}

备注

AMSLaTeX, 34 pages

两根棍子问题

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