比较分布：$\ell_1$ 几何改进核两样本检验

两组观测值是否来自同一分布？这个问题是一个两样本检验问题。核方法带来了许多吸引人的性质。事实上，最先进的方法使用基于核的分布代表之间的 $L^2$ 距离来推导其检验统计量。在此，我们证明这些分布代表之间的 $L^p$ 距离（$p\geq 1$）给出了分布空间上的度量，这些度量在检测分布间差异方面表现良好，因为它们度量了弱收敛。此外，对于解析核，我们证明 $L^1$ 几何为可扩展的计算过程提供了更高的检验功效。具体来说，我们推导了该度量的有限维近似，其形式为一个向量的 $\ell_1$ 范数，该向量捕获了在空间位置或频率（即特征）上评估的解析函数期望的差异。这些特征可以被选择以最大化分布间的差异，并给出关于它们如何不同的可解释指示。使用 $\ell_1$ 范数能提供更好的检测能力，因为当我们使用解析核（几乎处处非零）时，代表之间的差异是稠密的。这些检验是一致的，同时比最先进的二次时间核检验快得多。在人工和真实世界问题上的实验表明，与基于 $\ell_2$ 范数的最先进方法相比，该方法在功效/时间权衡上有所改进，并且在某些情况下，其绝对功效甚至优于最昂贵的二次时间检验。