非对称单边分配问题的无政府价格

我们研究了具有 m 个物品和 n 个多单元需求智能体（具有可加性、单位求和估值）的（非对称）单边分配问题的公平机制。对称情形（m=n），即单边匹配问题，已在单位需求智能体类别中得到广泛研究，特别是关于 folklore 的 Random Priority 机制和 Bogomolnaia 与 Moulin 提出的 Probabilistic Serial 机制。在单位求和估值函数假设下，Christodoulou 等人证明了在单边匹配问题中，Random Priority 和 Probabilistic Serial 机制的无政府价格均为 $\Theta(\sqrt{n})$。尽管 Random Priority 和 Probabilistic Serial 都是序数机制，但这些近似保证即使对于更广泛的基数机制类别也是可能的最佳结果。为了将这些结果推广到一般设定，存在两个技术障碍。其一，非对称性（$m\neq n$）尤其当物品数量远大于智能体数量时是有问题的。其二，有必要研究多单元需求智能体而非简单的单位需求智能体。我们的方法是研究 Probabilistic Serial 的一个基数机制变体，称之为 Cardinal Probabilistic Serial。我们给出了该机制的结构定理，并利用它们获得了无政府价格的界。我们的第一个主要结果是，对于具有多单元需求智能体的非对称单边分配问题，无政府价格的上界为 $O(\sqrt{n}\cdot \log m)$。该上界也适用于 Probabilistic Serial，并且对于任何公平机制存在一个互补的下界 $\Omega(\sqrt{n})$。我们的第二个主要结果是，无政府价格随物品数量增加而恶化。具体而言，两种机制都对物品数量存在对数依赖。