通过下降理论研究拓扑模形式的 Picard 群

本文首先阐述了在研究 $\mathbf{E}_{\infty}$-环谱的 Picard 群时使用的下降理论技术，这自然地引出了对 Picard 谱的研究。随后，我们开发了用于高效且显式地确定由此获得的 Picard 谱的相关下降谱序列中微分的工具。作为一个主要应用，我们计算了周期性拓扑模形式谱 $TMF$ 以及非周期性和非连通谱 $Tmf$ 的 Picard 群。我们发现 $\mathrm{Pic} (TMF)$ 是阶为 576 的循环群，由悬置 $\Sigma TMF$ 生成（这一结果最初由 Hopkins 得出），而 $\mathrm{Pic}(Tmf) = \mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/24$。特别地，我们证明存在一个可逆的 $Tmf$-模，它不等价于 $Tmf$ 的悬置。