三等差数列的p-数值半群

对于给定的正整数$a_1,a_2,\dots,a_k$且$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$，计数函数$d(n)=d(n;a_1,a_2,\dots,a_k)$表示线性方程$a_1 x_1+a_2 x_2+\dots+a_k x_k=n$（其中$n$为正整数）的非负整数解$(x_1,x_2,\dots,x_k)$的个数。对于给定的非负整数$p$，令$S_p=S_p(a_1,a_2,\dots,a_k)$为所有满足$d(n)>p$的非负整数$n$的集合。本文关注$p$-Frobenius数，即间隙集$\mathbb N_0\backslash S_p$的最大值，其中$\mathbb N_0$表示非负整数集。当$p=0$时，$S=S_0$为原始数值半群，且$0$-Frobenius数为原始Frobenius数。两变量情形的显式公式已知不仅针对$p=0$也针对$p>0$，但当变量数为三个或更多时，即便在$p=0$的特殊情形中也十分困难。对于$p>0$，不仅更为困难，且此前未发现有显式公式。本文给出了三等差数列的$p$-Frobenius数及相关值的显式公式。主要工具是确定$p$-Apéry集的元素。