Alexiewicz 范数下的一维热方程

如果一个分布是扩展实线上连续函数的分布导数，则该分布具有连续原函数积分。以此意义可积的分布空间是一个 Banach 空间，包含了所有在 Lebesgue 和 Henstock--Kurzweil 意义下可积的函数。本文考虑了初始数据在连续原函数积分意义下可积的一维热方程。设 $\Theta_t(x)=\exp(-x^2/(4t))/\sqrt{4\pi t}$ 为热核。对于作为连续函数分布导数的初始数据 $f$，证明了 $u_t(x):=u(x,t):=f\ast\Theta_t(x)$ 是热方程 $u_{11}=u_2$ 的经典解。估计式 $\|f\ast\Theta_t\|_\infty\leq\|f\|/\sqrt{\pi t}$ 成立。Alexiewicz 范数定义为 $\|f\|=\sup_I|\int_If|$，其中上确界取遍所有区间。初始数据在 Alexiewicz 范数下选取，当 $t\to 0^+$ 时 $\|u_t-f\|\to 0$。在假设 $\|u_t\|$ 有界且对于某个可积函数 $f$，$u_t$ 在 Alexiewicz 范数下收敛于 $f$ 的条件下，热方程的解是唯一的。本文还考虑了初始数据为连续函数的 $n$ 阶导数以及在加权空间（使得对于某些 $a>0$，$\int_{-\infty}^\infty f(x)\exp(-ax^2)\,dx$ 存在）中的热方程，并获得了类似的结果。