正交归一函数非线性薛定谔方程:II. 在 Lieb-Thirring 不等式中的应用

本文中我们否定了 Lieb 与 Thirring 关于其同名不等式最佳常数猜想的部分内容。我们证明,当薛定谔算子 $-\Delta+V(x)$ 的本征值被提升到幂次 $\kappa$ 时,在空间维数 $d\geq1$ 且 $\kappa>\max(0,2-d/2)$ 下,最佳 Lieb-Thirring 常数从不由单束缚态情形给出。当另有 $\kappa\geq1$ 时,我们证明该最佳常数从不为具有有限多本征值的势所达到。获得第一结果的方法是仔细计算两个相距很远的 Gagliardo-Nirenberg 优化器之间指数小的相互作用。对第二结果,我们研究 Lieb-Thirring 不等式的对偶版本,精神同本工作第一部分(D. Gontier, M. Lewin & F.Q. Nazar, arXiv:2002.04963)。在不同但相关的方向上,我们也表明立方非线性薛定谔方程在 1D 中对多于一个函数不存在正交归一基态。