多重集划分代数

我们引入了定义在 $F[\xi]$ 上的多重集划分代数 $\mathcal{MP}_k(\xi)$,其中 $F$ 是特征为 $0$ 的域,$k$ 为正整数。当 $\xi$ 特化为正整数 $n$ 时,我们建立了所得代数 $\mathcal{MP}_k(n)$ 与对称群 $S_n$ 在 $\text{Sym}^k(F^n)$ 上的作用之间的 Schur-Weyl 对偶。$\mathcal{MP}_k(\xi)$ 的构造可推广到任意非负整数向量 $\lambda$,得到定义在 $F[\xi]$ 上的代数 $\mathcal{MP}_{\lambda}(\xi)$,使得 $\mathcal{MP}_{\lambda}(n)$ 与 $S_n$ 在 $\text{Sym}^{\lambda}(F^n)$ 上的作用之间存在 Schur-Weyl 对偶。当 $\lambda$ 变化时,我们求出 $S_n$ 在 $\text{Sym}^\lambda(F^n)$ 中每个不可约表示重数的生成函数,用 Schur 函数的 plethysm 表示。作为推论,我们得到了 $\mathcal{MP}_k(n)$ 不可约表示的指标集,以及 $GL_n(F)$ 的不可约多项式表示限制到 $S_n$ 时重数的生成函数。我们证明 $\mathcal{MP}_\lambda(\xi)$ 嵌入到划分代数 $\mathcal{P}_{|\lambda|}(\xi)$ 中。利用该嵌入,在 $F$ 上我们证明 $\mathcal{MP}_{\lambda}(\xi)$ 是胞腔代数,且当 $\xi$ 不是整数或 $\xi$ 为整数并满足 $\xi\geq 2|\lambda|-1$ 时 $\mathcal{MP}_{\lambda}(\xi)$ 是半单的。我们给出了基于 Robinson-Schensted-Knuth 对应的插入算法,实现了 $\mathcal{MP}_{\lambda}(n)$ 作为 $\mathcal{MP}_{\lambda}(n)\times \mathcal{MP}_{\lambda}(n)$-模的分解。