箭图Hecke超代数的虚Schur-Weyl对偶

箭图 Hecke 超代数 $R_\theta$ 上的不可约模可通过尖点模进行分类。对于一个不可分解的正根 $\alpha$ 和一个非负整数 $d$，可关联一个 $R_{d\alpha}$ 的商 $\bar R_{d\alpha}$，称为尖点代数。若根 $\alpha$ 为实数，尖点代数已被充分理解。但若 $\alpha=\delta$（虚零根），则虚尖点代数 $\bar R_{d\delta}$ 相当神秘。已知 $\bar R_{d\delta}$-模的同构类数目等于 $d$ 的 $\ell$-分拆数，但此前尚无方法将不可约 $\bar R_{d\delta}$-模与这样的分拆典范地关联起来。虚尖点代数因其与对称群和交错群二重覆盖的 RoCK 块的联系而尤为重要。我们对虚尖点代数及其表示论进行了详细研究。我们利用所谓的 Gelfand-Graev 幂等元以及微妙的次数和奇偶偏移，为任意 $n\geq d$ 构造了一个（分次）Morita（超）等价代数 $\mathsf{C}(n,d)$。代数 $\mathsf{C}(n,d)$ 的优势在于，与 $\bar R_{d\delta}$ 不同，它是非负分次的。此外，零次分量 $\mathsf{C}(n,d)^0$ 被证明同构于 $\ell$ 个经典 Schur 代数张量积的直和。这给出了不可约 $\mathsf{C}(n,d)$-模的分类（以及维数/特征标等的描述），从而给出了不可约 $\bar R_{d\delta}$-模的分类，并以经典 Schur 代数的语言进行了刻画。特别地，这使得我们可以用 $\ell$-分拆来典范地标记这些模。本论文的结果将用于我们对对称群二重覆盖的 RoCK 块的未来研究。