对称圆盘图(在任意度量下)的最小生成树是轻的

考虑一个 n 点度量空间 M = (V,δ)，以及一个传输范围分配 r: V → ℝ⁺，它将每个点 v ∈ V 映射到以其为中心、半径为 r(v) 的圆盘。对应于 M 和 r 的{对称圆盘图}(以下简称 SDG)是一个无向图，其顶点集为 V，边集包含边 (u,v) 当且仅当 r(u) 和 r(v) 都不小于 δ(u,v)。SDG 常用于建模无线通信网络。Abu-Affash、Aschner、Carmi 和 Katz (SWAT 2010, \cite{AACK10}) 证明，对于任意{二维欧几里得} n 点度量 M，M 的每个{连通} SDG 的 MST 权重为 O(log n) w(MST(M))，并且该界是紧的。然而，\cite{AACK10} 的上界证明严重依赖于二维欧几里得度量的基本几何性质，无法推广到更高维度。一个自然的问题是，\cite{AACK10} 的这个令人惊讶的上界能否推广到更广泛的度量族，例如三维欧几里得度量。在本文中，我们将 Abu-Affash 等人 \cite{AACK10} 的上界推广到任意维度的欧几里得度量。此外，我们的上界还扩展到{任意度量}，特别地，它适用于任何赋范空间 ℓₚ。具体来说，我们证明对于{任意} n 点度量 M，M 的每个连通 SDG 的 MST 权重为 O(log n) w(MST(M))。