通过动力系统推导 Morse-Bott 不等式

设 $f:M \to \mathbb{R}$ 为紧致光滑有限维流形 $M$ 上的 Morse-Bott 函数。多项式 Morse 不等式以及利用 $f$ 的临界子流形 $C_j$ 上的 Morse 函数 $f_j$ 定义的 $f$ 的显式扰动，直接表明 $MB_t(f) = P_t(M) + (1+t)R(t)$，其中 $MB_t(f)$ 是 $f$ 的 Morse-Bott 多项式，$P_t(M)$ 是 $M$ 的 Poincar\'e 多项式。我们通过证明 $f$ 的扰动在两个临界点 $p,q \in C_j$ 之间的梯度流线数量与 Morse 函数 $f_j$ 在 $p$ 和 $q$ 之间的梯度流线数量一致，证明了 $R(t)$ 是一个具有非负整数系数的多项式。这导致了与 Morse 函数 $f_j$ 相关的 Morse-Smale-Witten 边界算子的核与 $f$ 的扰动之间的关系。当 $M$ 和所有临界子流形均可定向，或使用 $\mathbb{Z}_2$ 系数时，此方法有效。