“一维半”机制设计的菜单复杂度

我们研究在“FedEx”问题背景下最优与近似最优拍卖的菜单复杂度，该问题是一种所谓的“一维半”设定，其中单一投标者对于接收物品既有价值又有截止时间[FGKK16]。拍卖的菜单复杂度等于投标者可能收到的不同（分配，价格）对的数量[HN13]。当投标者有 $n$ 个可能截止时间时，我们展示如下：—指数级菜单复杂度对达到精确最优是必要的：存在最优机制菜单复杂度为 $2^n-1$ 的实例。这与 Fiat 等人算法给出的上界精确吻合，并解决了他们的开放问题之一[FGKK16]。—完全多项式菜单复杂度对近似是必要的且充分的：对所有实例，存在保证最优收益乘性 $(1-\epsilon)$-近似的机制，其菜单复杂度为 $O(n^{3/2}\sqrt{\frac{\min\{n/\epsilon,\ln(v_{\max})\}}{\epsilon}}) = O(n^2/\epsilon)$，其中 $v_{\max}$ 表示整数分布支撑中最大价值。—存在任何保证最优收益乘性 $(1-O(1/n^2))$-近似的机制都需菜单复杂度 $\Omega(n^2)$ 的实例。我们的主要技术是凹函数的多边形逼近[Rote19]，我们此处的结论应具有独立意义。我们进一步展示如何利用我们的技术解决[DW17]关于预算受限买者最优拍卖菜单复杂度的开放问题。