图论中的 McKean-Singer 公式

对于任意有限简单图 G=(V,E)，外代数丛 Omega 上的离散 Dirac 算子 D=d+d* 和 Laplace-Beltrami 算子 L=d d* + d* d 均为有限 v 乘 v 矩阵，其中 dim(Omega) = v 是 G 的完全子图 K(k) 集合 G(k) 的基数 v(k) 之和。我们证明了 McKean-Singer 公式 chi(G) = str(exp(-t L))，该公式对任意复时间 t 成立，其中 chi(G) = str(1)= sum (-1)k v(k) 是 G 的 Euler 示性数。热核的超迹进行了插值，使得 t=0 时的 Euler-Poincare 公式与实极限 t 趋于无穷大时的 Hodge 定理相连接。更一般地，对于满足 f(0)=0 的任意连续复值函数 f，有公式 chi(G) = str(exp(f(D)))。这包括了图上的 Schrödinger 演化 chi(G) = str(cos(t D)) 等情形。在陈述了关于 D 谱的一些一般事实（包括关于复杂度的陈述、非零特征值的乘积以及估计两个图谱差异的扰动结果）之后，我们指出一个组合推论：D 的谱编码了图单纯形空间中闭合路径的数量。McKean-Singer 公式表明，从偶维单纯形出发的长度为 n 的闭合路径数量与从奇维单纯形出发的长度为 n 的闭合路径数量相同。我们给出了若干计算实例，并发现 McKean-Singer 公式可用于寻找具有等谱 Dirac 算子的非等距图的对。