二进制对称信道输出与其输入的布尔函数之间的最大互信息

我们证明了Courtade-Kumar猜想，该猜想指出：对于记忆less二进制对称信道，其独立同分布$n$维输入向量任意布尔函数与对应输出向量之间的互信息上界为$1-\operatorname{H}(p)$，其中$\operatorname{H}(p)$表示二进制熵函数。即，令$\mathbf{X}=[X_1...X_n]$为独立同分布的Bernoulli($1/2$)随机变量向量，作为误差概率等于$0 \leq p \leq 1/2$的记忆less二进制对称信道的输入，且$\mathbf{Y}=[Y_1...Y_n]$为对应输出。令$f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$为一个$n$维布尔函数。则$\operatorname{MI}(f(\mathbf{X}),\mathbf{Y}) \leq 1-\operatorname{H}(p)$。我们给出了该猜想最一般情况下的证明，即对任意$n$维布尔函数$f$以及二进制对称信道误差概率任意值$0 \leq p \leq 1/2$均成立。我们的证明仅使用了信息论、概率论以及随机变量与向量变换的基本概念。