关于极噪声信道上最具信息量的布尔函数

设 $X^n$ 为均匀分布的 $n$ 维二值向量，$Y^n$ 为将 $X^n$ 通过交叉概率为 $\alpha$ 的二元对称信道（BSC）得到的结果。Courtade 和 Kumar 最近提出的一个猜想指出，对于任意布尔函数 $f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}$，有 $I(f(X^n);Y^n)\le 1-H(\alpha)$。尽管 Samorodnitsky 已证明该猜想在独立于维度的强噪声情形下成立，本文中我们提出一种基于微积分的方法，通过考察 $H(\alpha)-H(f(X^n)|Y^n)$ 在 $\alpha=1/2$ 处的二阶导数，给出依赖于维度的结果。在此过程中，我们证明了在强噪声情形下，独裁函数是最具信息量的函数。