Courtade-Kumar猜想研究进展：最优高噪声熵界与广义坐标互信息

Courtade-Kumar猜想假定，在布尔超立方体上，独裁函数使函数输出与其输入的含噪版本之间的互信息最大化。我们提出了与该猜想相关的两项重要进展。首先，我们解决了Courtade和Kumar提出的一个开放问题，证明了对于任何布尔函数（无论偏差如何），函数输出与各个含噪输入坐标之间的互信息之和以$1-H(\alpha)$为界，其中$\alpha$是二元对称信道的噪声参数。这推广了他们先前仅限于平衡布尔函数的结果。其次，我们推进了在高噪声区域对主猜想的研究。我们为渐近熵展开建立了一个最优误差界$O(\lambda^2)$，其中$\lambda = (1-2\alpha)^2$，改进了先前已知的最佳界。这一精细分析为高信息量函数导出了一个尖锐的线性傅里叶集中界，并显著扩展了猜想被证明成立的噪声参数$\lambda$的范围。