关于固定均值下最具信息量函数猜想的评注

2013年，Courtade和Kumar提出了以下问题：设 $\boldsymbol{x} \sim \{\pm 1\}^n$ 为均匀随机，并以概率 $\alpha$ 独立地翻转 $\boldsymbol{x}$ 的每一位形成 $\boldsymbol{y} \sim \{\pm 1\}^n$。是否对于 $f:\{\pm 1\}^n \to \{\pm 1\}$，互信息 $I(f(\boldsymbol{x}) \mathbin{;} \boldsymbol{y})$ 在 $f(x) = x_1$ 时取得最大值？我们未解决此问题。相反，我们对猜想的固定均值版本做了一些观察。我们证明了Courtade和Kumar更强的Lex猜想在小噪声率下不成立。我们还证明了球面上该猜想的连续版本，并表明它蕴含了先前已知的高斯空间类比。